Álgebra lineal Ejemplos

$x + 5 \sqrt{x^{2} + 11 x + 3}$

Paso 1

Establece el radicando en $\sqrt{x^{2} + 11 x + 3}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x^{2} + 11 x + 3 \geq 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$x^{2} + 11 x + 3 = 0$

Paso 2.2

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2.3

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 11$ y $c = 3$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.4.1.1

Eleva $11$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

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Paso 2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.1.3

Resta $12$ de $121$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{109}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{109}}{2}$

Paso 2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.1.1

Eleva $11$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

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Paso 2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.1.3

Resta $12$ de $121$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{109}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{109}}{2}$

Paso 2.5.3

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{- 11 + \sqrt{109}}{2}$

Paso 2.5.4

Reescribe $- 11$ como $- 1 (11)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 11 + \sqrt{109}}{2}$

Paso 2.5.5

Factoriza $- 1$ de $\sqrt{109}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 11 - 1 (- \sqrt{109})}{2}$

Paso 2.5.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (11) - 1 (- \sqrt{109})$ .

$x = \frac{- 1 (11 - \sqrt{109})}{2}$

Paso 2.5.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}$

Paso 2.6

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 2.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.1.1

Eleva $11$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

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Paso 2.6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.1.3

Resta $12$ de $121$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{109}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.6.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{109}}{2}$

Paso 2.6.3

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{- 11 - \sqrt{109}}{2}$

Paso 2.6.4

Reescribe $- 11$ como $- 1 (11)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 11 - \sqrt{109}}{2}$

Paso 2.6.5

Factoriza $- 1$ de $- \sqrt{109}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 11 - (\sqrt{109})}{2}$

Paso 2.6.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (11) - (\sqrt{109})$ .

$x = \frac{- 1 (11 + \sqrt{109})}{2}$

Paso 2.6.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{11 + \sqrt{109}}{2}$

Paso 2.7

Consolida las soluciones.

$x = - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}, - \frac{11 + \sqrt{109}}{2}$

Paso 2.8

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - \frac{11 + \sqrt{109}}{2}$

$- \frac{11 + \sqrt{109}}{2} < x < - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}$

$x > - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}$

Paso 2.9

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 2.9.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - \frac{11 + \sqrt{109}}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.9.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - \frac{11 + \sqrt{109}}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 13$

Paso 2.9.1.2

Reemplaza $x$ con $- 13$ en la desigualdad original.

${(- 13)}^{2} + 11 (- 13) + 3 \geq 0$

Paso 2.9.1.3

$29$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 2.9.2

Prueba un valor en el intervalo $- \frac{11 + \sqrt{109}}{2} < x < - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.9.2.1

Elije un valor en el intervalo $- \frac{11 + \sqrt{109}}{2} < x < - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 3$

Paso 2.9.2.2

Reemplaza $x$ con $- 3$ en la desigualdad original.

${(- 3)}^{2} + 11 (- 3) + 3 \geq 0$

Paso 2.9.2.3

$- 21$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 2.9.3

Prueba un valor en el intervalo $x > - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.9.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 2.9.3.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

${(0)}^{2} + 11 (0) + 3 \geq 0$

Paso 2.9.3.3

$3$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 2.9.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - \frac{11 + \sqrt{109}}{2}$ Verdadero

$- \frac{11 + \sqrt{109}}{2} < x < - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}$ Falso

$x > - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}$ Verdadero

$x < - \frac{11 + \sqrt{109}}{2}$ Verdadero

$- \frac{11 + \sqrt{109}}{2} < x < - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}$ Falso

$x > - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}$ Verdadero

Paso 2.10

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x \leq - \frac{11 + \sqrt{109}}{2}$ o $x \geq - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}$

Paso 3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, - \frac{11 + \sqrt{109}}{2}] \cup [- \frac{11 - \sqrt{109}}{2}, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \leq - \frac{11 + \sqrt{109}}{2}, x \geq - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}}$

Paso 4